L’AI accelera la matematica: ecco perché ora si apre un mondo di scoperte tech

OpenAI ha affidato all’intelligenza artificiale migliaia di problemi matematici e il 6 ottobre ha pubblicato 722 manoscritti, organizzati in 372 gruppi di risultati, sostenendo di aver compiuto progressi su numerose questioni rimaste aperte per anni o decenni. È una mole eccezionale di ricerca resa pubblica in un solo giorno, il matematico Levent Alpöge, ricercatore di Anthropic, l’ha definita “il momento più significativo della storia della matematica”. In questi giorni ferve il lavoro di verifica e comprensione di quanto pubblicato. Da allora tre lavori sono stati ritirati e altri corretti. La comunità scientifica sta ora cercando di stabilire quali dimostrazioni siano solide e quali idee meritino di entrare stabilmente nella matematica.

La posta in gioco va molto oltre i teoremi. La Storia finora ce l’ha insegnato: una svolta teorica nella matematica può modificare il futuro della fisica, dell’informatica, della medicina e delle tecnologie quotidiane. Non avremmo avuto l’intelligenza artificiale senza l’algebra lineare o il gps senza la relatività di Einstein. Banalmente, nemmeno avremmo avuto i computer senza i lavori ottocenteschi di George Boole.

Studiare cosa sta succedendo alla matematica grazie all’AI ci offre quindi una possibile finestra sul futuro del mondo, per quanto ancora appannata e su un paesaggio avvolto nella nebbia.

AI e matematica, che cosa è successo con OpenAI a ottobre 2026

La pubblicazione del 6 ottobre è arrivata dopo due annunci ravvicinati. A settembre OpenAI aveva presentato una soluzione proposta per il problema di Navier-Stokes, uno dei sette problemi del millennio selezionati dal Clay Mathematics Institute. Riguarda la possibilità che le equazioni dei fluidi, partendo da condizioni regolari, sviluppino singolarità: un nodo teorico per comprendere i limiti delle descrizioni matematiche del moto di liquidi e gas. Secondo l’azienda, un gruppo di agenti AI è arrivato alla dimostrazione in circa 88 ore e una formalizzazione in Lean è stata completata successivamente.

Il Clay Mathematics Institute, l’11 settembre, ha accolto l’annuncio parlando di un problema «apparentemente» risolto, indicando che la valutazione richiede un processo scientifico approfondito. Il salto di capacità dichiarato è rilevante anche prima della conclusione di quell’esame: una ricerca a cui generazioni di matematici hanno dedicato energie viene ora affrontata da sistemi capaci di esplorare simultaneamente molte strategie.

Il passo successivo è stato il deposito di una raccolta molto più vasta. Nel repository pubblico di OpenAI figurano oggi 719 manoscritti in 372 famiglie, da una valutazione che ha coinvolto circa 4.000 problemi. Nella cronologia degli aggiornamenti l’azienda documenta il ritiro di tre testi per un errore di segno propagatosi ad altri due lavori e la revisione di quattordici manoscritti. La raccolta include materiali a differenti stadi di verifica e soltanto dieci sintesi abbreviate dei percorsi di ragionamento dei modelli.

La differenza fra una soluzione proposta e una scoperta accertata è decisiva. Nel catalogo aggiornato, i risultati principali formalizzati in Lean riguardano 300 manoscritti su 719, circa il 42%. Una prova formalizzata può essere controllata da un verificatore informatico entro le ipotesi e le definizioni adottate; per valutarne novità, portata scientifica e relazione con la letteratura precedente servono anche il giudizio e il lavoro della comunità matematica.

Il passato suggerisce che il valore di una teoria si riveli spesso in un settore diverso da quello in cui è nata, anche a grande distanza di tempo.

Facciamo ora un piccolo viaggio nel tempo.

Da Cerere a ChatGPT: come la matematica delle matrici è arrivata agli LLM

Il primo gennaio 1801, dall’Osservatorio di Palermo, l’astronomo Giuseppe Piazzi individua nel cielo un corpo celeste ancora sconosciuto. Lo chiama Cerere. Riesce a seguirlo per alcune settimane, annotando giorno dopo giorno dove compare rispetto alle stelle, ma poi lo perde di vista: l’oggetto si avvicina apparentemente al Sole e diventa impossibile osservarlo.

Per ritrovarlo mesi dopo bisogna sapere in quale punto del cielo cercarlo. Le poche posizioni registrate da Piazzi sembrano insufficienti per ricostruirne l’intero percorso.

Entra in scena Carl Friedrich Gauss, che ha appena 24 anni. Partendo da alcune osservazioni, sviluppa un metodo per ricavare l’orbita di Cerere e prevederne la posizione futura. La previsione funziona: il 7 dicembre 1801 l’astronomo Franz Xaver von Zach osserva nuovamente il corpo celeste, riuscendo a identificarlo con certezza il 31 dicembre. Cerere viene ritrovato grazie a un calcolo, come ricorda la ricostruzione storica della NASA.

Per capire il problema affrontato da Gauss, immaginiamo di avere soltanto pochi punti disegnati su un foglio e di voler ricostruire la curva che li collega. Nel caso di Cerere era molto più difficile: bisognava ricavare una traiettoria nello spazio, considerando sia il movimento del corpo celeste intorno al Sole sia quello della Terra, dalla quale erano state effettuate le osservazioni.

Gauss riuscì a ricostruire un movimento complesso da un numero limitato di dati e a utilizzarlo per prevedere qualcosa che ancora non era stato osservato.

Il problema aveva anche un’altra difficoltà. Le misurazioni astronomiche contengono piccoli errori: le posizioni effettivamente osservate possono risultare leggermente diverse da quelle previste dalle formule. Come scegliere allora, fra più soluzioni possibili, quella che descrive meglio la realtà?

A questo problema rispondono metodi come quello dei minimi quadrati, al cui sviluppo Gauss diede contributi fondamentali. Il principio consiste nel confrontare i valori calcolati con quelli misurati e cercare la soluzione che renda complessivamente più piccoli gli scarti, assegnando un peso maggiore agli errori più grandi attraverso il loro quadrato.

Si tratta di un principio ancora utilizzato nella statistica e nell’apprendimento automatico: per esempio, quando si cerca una relazione fra il prezzo delle abitazioni e caratteristiche come superficie, posizione ed età dell’edificio.

Ma la storia di Gauss permette di introdurre un problema matematico più generale. Come possiamo effettuare calcoli quando il risultato dipende da molte quantità che si influenzano reciprocamente?

Dalle equazioni alle matrici: perché nasce l’algebra lineare

Partiamo da un esempio molto più semplice dell’astronomia.

Immaginiamo di entrare in una cartoleria e sapere soltanto che due quaderni e una penna costano complessivamente 5 euro, mentre un quaderno e due penne costano 4 euro.

Quanto costa un quaderno? E quanto costa una penna?

Per scoprirlo dobbiamo trovare due valori sconosciuti che soddisfino contemporaneamente due condizioni.

Possiamo scrivere le informazioni sotto forma di due equazioni. Nella prima, il prezzo di due quaderni più quello di una penna deve dare 5 euro. Nella seconda, il prezzo di un quaderno più quello di due penne deve dare 4 euro.

La soluzione è un quaderno da 2 euro e una penna da 1 euro. Possiamo verificarlo sostituendo questi prezzi nelle due condizioni iniziali.

È un esempio elementare di un sistema di equazioni lineari. Si chiamano lineari perché le incognite compaiono alla prima potenza, senza essere moltiplicate fra loro.

Ora immaginiamo di avere mille prodotti, migliaia di combinazioni differenti e altrettante equazioni. Risolverle una per una sarebbe un lavoro enorme. Serve un metodo per rappresentarle e trattarle tutte insieme.

È qui che entra in gioco una delle idee fondamentali dell’algebra lineare, la parte della matematica che studia sistemi di equazioni lineari, vettori e trasformazioni lineari.

Torniamo alla cartoleria. Nelle nostre due equazioni, i numeri che indicano quanti quaderni e quante penne vengono acquistati sono, rispettivamente, 2 e 1 nella prima, 1 e 2 nella seconda.

Possiamo organizzarli in una tabella di due righe e due colonne.

Questa tabella di numeri è una matrice.

La matrice raccoglie in un unico oggetto matematico i coefficienti delle equazioni, cioè i numeri che moltiplicano le quantità sconosciute. Le regole dell’algebra lineare permettono poi di lavorare direttamente su questa struttura per trovare le soluzioni.

Nell’Ottocento, matematici come Hermann Grassmann e Arthur Cayley contribuirono a costruire la teoria generale di questi oggetti. Grassmann, nel 1844, sviluppò idee che anticipavano i moderni spazi vettoriali; Cayley, nel 1858, pubblicò un importante lavoro sulla teoria delle matrici.

La svolta fu andare oltre il singolo problema da risolvere. I matematici cominciarono a studiare le proprietà delle matrici e le regole per effettuare operazioni su di esse, indipendentemente dall’applicazione che ne aveva motivato l’utilizzo.

Una delle operazioni più importanti è la moltiplicazione fra una matrice e un vettore.

Un vettore, nel significato che ci interessa, è semplicemente una sequenza ordinata di numeri. Per esempio, i prezzi del quaderno e della penna possono essere raccolti in un vettore formato dai numeri 2 e 1.

Se moltiplichiamo la matrice della cartoleria per questo vettore, otteniamo un nuovo vettore, formato dai numeri 5 e 4: i prezzi complessivi dei due acquisti.

La matrice ha trasformato un insieme di numeri in un altro, applicando contemporaneamente le relazioni che avevamo descritto con le equazioni.

Questa capacità di trasformare intere sequenze di numeri secondo regole precise avrebbe avuto applicazioni straordinarie.

Dalle matrici ai videogiochi: trasformare lo spazio

Pensiamo alla grafica tridimensionale.

Un oggetto rappresentato sullo schermo di un computer è composto da punti, ciascuno dei quali possiede tre coordinate: una indica la posizione in orizzontale, una quella in verticale e una la profondità.

Per il computer, quindi, la posizione di ciascun punto è rappresentabile attraverso un vettore di tre numeri.

Ma che cosa accade quando vogliamo far ruotare quell’oggetto, come succede continuamente nei videogiochi?

Il computer deve calcolare la nuova posizione di tutti i punti che lo compongono. E deve farlo in modo coerente, altrimenti l’oggetto si deformerebbe invece di ruotare.

Una matrice può descrivere matematicamente la regola di una rotazione. Moltiplicandola per le coordinate di ogni punto, il computer ottiene le nuove posizioni.

Per esempio, una rotazione di 90 gradi nel piano può trasformare un punto che si trova una unità a destra dell’origine in un punto che si trova una unità sopra l’origine.

La stessa matrice può essere applicata a tutti i punti di una figura.

In questo modo, invece di inventare un procedimento diverso per ciascun punto, il computer utilizza una sola regola generale, ripetuta per tutti.

È uno dei motivi per cui le matrici sono diventate fondamentali nella grafica computerizzata, nella progettazione tridimensionale, nei videogiochi e nella robotica.

Ma la teoria matematica sviluppata nell’Ottocento andava molto oltre gli oggetti che possiamo vedere.

Dalle tre dimensioni alle migliaia di dimensioni dell’intelligenza artificiale

Siamo abituati a pensare allo spazio attraverso tre dimensioni: altezza, larghezza e profondità.

Dal punto di vista matematico, però, una dimensione è una coordinata indipendente che contribuisce a descrivere qualcosa.

Consideriamo, per esempio, una canzone. Possiamo rappresentarla mediante alcuni numeri: la durata in minuti, la velocità del ritmo, il volume medio e altre caratteristiche misurabili.

Con due caratteristiche avremmo una rappresentazione a due dimensioni. Con dieci caratteristiche, una rappresentazione a dieci dimensioni. Con mille caratteristiche, un vettore di mille numeri, cioè uno spazio matematico a mille dimensioni.

Non dobbiamo riuscire a immaginare fisicamente uno spazio del genere. Basta sapere che ogni elemento è descritto da mille valori e che possiamo effettuare operazioni matematiche su di essi.

Già nell’Ottocento Grassmann aveva sviluppato una teoria capace di superare i limiti delle tre dimensioni dello spazio ordinario.

Questa generalizzazione è diventata preziosissima nell’informatica, dove il problema non è soltanto descrivere oggetti fisici, ma anche rappresentare e confrontare enormi quantità di informazioni.

Ed è proprio qui che ritroviamo le matrici nel funzionamento dei moderni modelli di intelligenza artificiale.

Come gli LLM trasformano le parole in numeri

Prendiamo ChatGPT. Quando gli scriviamo una frase, il modello deve elaborare il testo per produrre una risposta.

Ma un computer esegue operazioni su numeri. Non può moltiplicare direttamente la parola «gatto» per la parola «cane» per stabilire che relazione esista fra le due.

Serve quindi trasformare il linguaggio in rappresentazioni numeriche.

Il testo viene suddiviso in unità chiamate token, che possono corrispondere a parole intere, parti di parole o altri elementi. A ciascuna unità viene associata una sequenza di numeri, chiamata vettore di rappresentazione, o embedding.

Questi numeri vengono appresi durante l’addestramento del modello, che analizza grandi quantità di testi e modifica progressivamente i propri parametri per prevedere e generare sequenze linguistiche.

Che cosa rappresentano i numeri di un vettore?

Torniamo all’esempio della canzone. Se scegliessimo noi le caratteristiche da misurare, potremmo decidere che il primo numero indichi la durata e il secondo la velocità.

Negli LLM, invece, è il modello ad apprendere come distribuire le informazioni tra le diverse coordinate. Una singola coordinata generalmente non corrisponde a un concetto semplice come «animale» o «colore». Sono le combinazioni di molti numeri a rappresentare regolarità e relazioni apprese dai testi.

In questo modo, due elementi linguistici utilizzati in contesti simili possono avere rappresentazioni numeriche relativamente vicine.

Per esempio, «gatto» e «cane» potrebbero risultare più vicini fra loro rispetto ad «automobile» secondo determinate misure di somiglianza.

Lo spazio matematico diventa così uno strumento per rappresentare relazioni che riguardano il linguaggio.

Resta però un problema. Le parole possono cambiare significato a seconda della frase in cui vengono usate.

Il passo finale: le matrici aiutano gli LLM a interpretare il contesto

Consideriamo la parola «pesca».

Nella frase «Ho mangiato una pesca», indica un frutto. Nella frase «La pesca è vietata in questo lago», indica un’attività.

Il modello incontra la stessa parola, ma deve produrre rappresentazioni differenti perché il significato dipende dalle altre parole presenti nella frase.

È uno dei problemi affrontati dall’architettura Transformer, descritta nel 2017 nel celebre studio Attention Is All You Need, che costituisce una delle basi dei moderni LLM.

Il meccanismo centrale si chiama attention, cioè attenzione.

Per comprenderlo, immaginiamo che il modello, incontrando «pesca», debba valutare quali altre parole della frase possano aiutarlo a interpretarla.

Nella prima frase sarà rilevante «mangiato». Nella seconda potranno esserlo «vietata» e «lago».

Il Transformer esegue questa operazione confrontando rappresentazioni numeriche delle diverse parti del testo. Attraverso moltiplicazioni tra vettori e matrici, calcola quanto ciascun elemento possa contribuire all’elaborazione degli altri.

Le informazioni vengono poi combinate per aggiornare le rappresentazioni, che diventano sensibili al contesto.

Il modello ripete queste elaborazioni attraverso numerosi livelli. Al loro interno, matrici contenenti parametri appresi durante l’addestramento trasformano continuamente i vettori; altre funzioni matematiche permettono alla rete di elaborare relazioni più complesse.

Nei grandi modelli linguistici, le operazioni coinvolgono quantità enormi di numeri. I processori specializzati, come le GPU, sono particolarmente adatti a eseguire molte di queste moltiplicazioni contemporaneamente.

Ecco dunque il collegamento con la matematica dell’Ottocento.

L’algebra lineare ha fornito gli strumenti per rappresentare informazioni come vettori e trasformarle attraverso matrici, anche quando queste rappresentazioni contengono migliaia di dimensioni.

Sono strumenti che oggi troviamo tanto nella grafica dei videogiochi quanto nei sistemi di diagnostica medica, nella robotica e nell’intelligenza artificiale.

Le tecniche matematiche che permisero a Gauss di prevedere l’orbita di Cerere e quelle utilizzate dai Transformer sono differenti. Ma appartengono a una storia comune: lo sviluppo di metodi sempre più generali per descrivere problemi complessi, elaborare grandi quantità di dati e ricavare nuove informazioni attraverso il calcolo.

Nell’Ottocento nessuno avrebbe potuto immaginare che quelle strutture matematiche sarebbero diventate uno degli strumenti fondamentali per costruire macchine capaci di elaborare il linguaggio umano.

La logica di Boole: da una teoria del ragionamento ai computer

Un’altra storia comincia a metà dell’Ottocento, quando il matematico inglese George Boole si pone una domanda: è possibile descrivere il ragionamento logico attraverso regole matematiche?

Nella vita quotidiana usiamo continuamente espressioni come «e», «o» e «non». Per esempio, diciamo che per entrare in un edificio servono un documento di identità e un’autorizzazione.

La condizione per entrare è soddisfatta soltanto quando entrambe le cose sono presenti.

In altri casi basta una possibilità fra due. Per esempio, possiamo entrare in una stanza usando una chiave o un codice di accesso.

Boole comprende che queste relazioni logiche possono essere descritte attraverso operazioni matematiche.

Nei suoi lavori del 1847 e del 1854 sviluppa una teoria nella quale proposizioni e classi possono essere trattate secondo regole formali. È il fondamento di quella che oggi chiamiamo algebra booleana.

Nella sua versione più semplice, possiamo rappresentare una condizione falsa con il numero 0 e una vera con il numero 1.

L’operazione AND, cioè «e», restituisce 1 soltanto quando entrambe le condizioni valgono 1. L’operazione OR, cioè «o», restituisce 1 quando almeno una condizione vale 1.

Questa matematica nasce per studiare il ragionamento. Ma circa ottant’anni dopo diventa utile per risolvere un problema completamente diverso.

Quando la logica incontra gli interruttori elettrici

Negli anni Trenta del Novecento, il giovane ricercatore americano Claude Shannon studia i circuiti elettrici utilizzati nei sistemi di commutazione telefonica.

Questi impianti devono stabilire quali collegamenti attivare per mettere in comunicazione due persone. Utilizzano componenti elettromeccanici chiamati relè, che possono aprire o chiudere il passaggio della corrente.

Shannon si rende conto che il comportamento di questi circuiti può essere descritto con le regole matematiche formulate da Boole.

Immaginiamo due interruttori collegati uno dopo l’altro, lungo lo stesso percorso elettrico.

Perché la corrente possa passare, devono essere entrambi chiusi. Se anche uno soltanto è aperto, il circuito si interrompe.

È esattamente il funzionamento logico dell’operazione AND: la corrente passa quando sono soddisfatte entrambe le condizioni.

Ora immaginiamo invece due interruttori collocati su percorsi alternativi. In questo caso basta che uno dei due sia chiuso perché esista un percorso per la corrente.

Abbiamo realizzato fisicamente un’operazione OR.

Le regole astratte della logica possono quindi diventare regole per progettare circuiti elettrici.

Shannon sviluppa questa intuizione nella sua tesi di master del 1937, come ricorda il Computer History Museum.

Con l’evoluzione dell’elettronica, i relè vengono progressivamente sostituiti da transistor, componenti molto più piccoli e veloci che consentono di realizzare porte logiche.

I processori moderni ne contengono miliardi. Combinando un numero enorme di operazioni elementari, possono effettuare calcoli, elaborare informazioni ed eseguire programmi.

Un principio nato per rappresentare matematicamente il ragionamento è diventato una delle fondamenta dei computer e dell’intera elettronica digitale.

I numeri immaginari: dalle equazioni impossibili alle telecomunicazioni

Un terzo esempio ci porta ancora più indietro, nel Rinascimento.

Nel Cinquecento, i matematici italiani studiano metodi per risolvere equazioni sempre più complesse. Durante alcuni calcoli incontrano però un ostacolo.

Compare la radice quadrata di un numero negativo.

Il problema è che nessun numero reale, moltiplicato per se stesso, può produrre un risultato negativo.

Il quadrato di 2 è 4. Anche il quadrato di −2 è 4. Come potremmo allora trovare un numero il cui quadrato sia −1?

Gerolamo Cardano incontra espressioni di questo tipo nella sua Ars Magna del 1545.

Nel 1572 Rafael Bombelli affronta il problema in modo più sistematico, sviluppando regole per effettuare calcoli con queste quantità apparentemente impossibili, come ricostruisce Treccani nella storia del suo lavoro.

L’intuizione è trattare quelle espressioni attraverso regole coerenti. Oggi indichiamo con la lettera i l’unità immaginaria, definita in modo che il suo quadrato sia uguale a −1.

Grazie a questa estensione possiamo costruire i numeri complessi, formati da una parte reale e una immaginaria.

Per esempio, il numero 3 + 2i contiene una parte reale, 3, e una parte immaginaria, 2i.

Perché questi numeri permettono di descrivere le onde

Per comprenderne l’utilità dobbiamo compiere un altro passaggio.

Un normale numero reale può essere rappresentato come un punto su una linea. Un numero complesso, invece, può essere rappresentato come un punto su un piano, utilizzando due coordinate: una per la parte reale e una per quella immaginaria.

Possiamo così descriverlo anche attraverso due caratteristiche: la distanza dall’origine e l’angolo che forma rispetto a una direzione di riferimento.

Questa possibilità si rivela particolarmente utile quando dobbiamo descrivere fenomeni oscillatori, come le onde elettriche.

Pensiamo alla corrente alternata che arriva nelle nostre case. A differenza della corrente continua, la tensione cambia periodicamente nel tempo.

Per descrivere queste oscillazioni occorre conoscerne, fra le altre cose, l’ampiezza e la fase, cioè il punto del ciclo oscillatorio in cui si trovano.

Immaginiamo due onde che oscillano alla stessa frequenza. Se raggiungono il massimo nello stesso momento, si rafforzano quando vengono sommate.

Se invece una raggiunge il massimo proprio quando l’altra raggiunge il minimo, possono compensarsi, almeno in parte, fino ad annullarsi se hanno la stessa ampiezza e fase opposta.

Conoscere soltanto l’ampiezza delle due onde non basta: bisogna sapere anche come sono sfasate l’una rispetto all’altra.

Ed è qui che i numeri complessi diventano preziosi.

Grazie alla loro rappresentazione sul piano, consentono di descrivere insieme ampiezza e fase. Le operazioni fra onde sinusoidali possono così essere trattate con calcoli algebrici molto più semplici rispetto all’uso continuo di lunghe espressioni trigonometriche.

È il principio alla base dei fasori, ampiamente utilizzati nell’ingegneria elettrica, come spiegano anche le dispense del MIT sui circuiti in corrente alternata.

Oggi i numeri complessi vengono impiegati anche nell’elaborazione dei segnali, nelle comunicazioni radio e nelle tecniche matematiche che consentono di analizzare e ricostruire le onde utilizzate nelle telecomunicazioni wireless.

Una costruzione matematica nata per affrontare equazioni che sembravano impossibili è diventata uno strumento essenziale dell’ingegneria elettrica e delle comunicazioni digitali.

Da Riemann a Einstein: come una geometria astratta fa funzionare il GPS

Forse l’esempio più sorprendente è quello che collega la geometria matematica dell’Ottocento al funzionamento dei navigatori satellitari.

La storia comincia da una domanda apparentemente semplice: le regole della geometria che impariamo a scuola valgono sempre, in qualunque spazio?

Siamo abituati alla geometria di Euclide, nella quale, per esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 gradi.

Ma questa proprietà cambia se il triangolo viene disegnato su una superficie curva.

Pensiamo alla superficie della Terra. Possiamo costruire un triangolo che abbia un vertice al Polo Nord e gli altri due sull’equatore, separati da 90 gradi di longitudine.

Se colleghiamo questi tre punti seguendo i meridiani e l’equatore, otteniamo un triangolo i cui tre angoli sono tutti di 90 gradi.

La somma è 270 gradi anziché 180.

Il motivo è che stiamo lavorando su una superficie curva, dove le relazioni geometriche sono diverse da quelle di un piano.

La scoperta di Riemann: la geometria oltre lo spazio ordinario

Nel 1854 il matematico tedesco Bernhard Riemann sviluppa idee che permettono di studiare geometricamente spazi curvi molto più generali.

Il passo decisivo è che questi spazi possono avere anche più di tre dimensioni e che le loro proprietà possono essere descritte attraverso strumenti matematici.

La matematica può quindi studiare geometrie che non riusciamo a visualizzare direttamente, senza essere limitata all’esperienza quotidiana dello spazio.

Per diversi decenni queste ricerche appartengono soprattutto alla matematica teorica. Poi diventano uno degli strumenti necessari per una rivoluzione della fisica.

Albert Einstein cerca di comprendere la natura della gravità.

La fisica di Newton la descriveva attraverso una forza di attrazione fra corpi dotati di massa. Einstein sviluppa invece una descrizione nella quale la gravità è legata alla geometria dello spazio e del tempo.

Nella relatività generale, presentata nel 1915, la presenza di massa ed energia modifica la geometria dello spazio-tempo, influenzando il movimento dei corpi e il ritmo con cui scorre il tempo.

Le idee geometriche sviluppate da Riemann forniscono strumenti fondamentali per formulare questa teoria, come ricorda anche l’American Physical Society.

Ma quale rapporto può esserci tra una teoria sulla geometria dell’universo e il navigatore del nostro smartphone?

Perché i satelliti GPS devono correggere gli orologi

Per calcolare la nostra posizione, il GPS utilizza segnali trasmessi da satelliti in orbita intorno alla Terra.

Ogni satellite dispone di orologi atomici estremamente precisi e invia segnali contenenti informazioni temporali.

Il ricevitore confronta queste informazioni per determinare quanto tempo hanno impiegato i segnali ad arrivare. Poiché conosce la velocità con cui si propagano, può ricavare la distanza dai satelliti.

Combinando le informazioni di più satelliti, riesce a calcolare la nostra posizione sulla superficie terrestre.

Perché il sistema funzioni, però, deve misurare il tempo con una precisione straordinaria.

Ed è proprio qui che entra in gioco Einstein.

I satelliti GPS si trovano a circa 20.200 chilometri di altitudine e si muovono a grande velocità rispetto alla superficie terrestre.

La relatività ristretta prevede che, a causa di questo movimento, i loro orologi tendano a scorrere più lentamente rispetto agli orologi terrestri: circa 7 microsecondi al giorno.

La relatività generale prevede invece che, a quell’altitudine, dove la gravità terrestre è meno intensa, gli orologi tendano a scorrere più velocemente: circa 45 microsecondi al giorno.

I due effetti agiscono in direzioni opposte, ma quello gravitazionale è maggiore.

Il risultato è che, senza correzioni, gli orologi dei satelliti avanzerebbero di circa 38 microsecondi al giorno rispetto agli orologi terrestri, come spiega il National Institute of Standards and Technology.

Può sembrare una differenza insignificante, ma i segnali viaggiano quasi alla velocità della luce.

In un solo microsecondo percorrono circa 300 metri. Trentotto microsecondi corrispondono quindi a più di 11 chilometri di percorso del segnale.

Un errore temporale così piccolo può dunque trasformarsi in un enorme errore nel calcolo delle distanze.

Per evitare che ciò accada, il sistema GPS incorpora correzioni che tengono conto degli effetti relativistici.

È una conseguenza tecnologica sorprendente di un percorso scientifico iniziato ben prima dell’era spaziale.

Riemann aveva sviluppato strumenti per comprendere geometrie astratte. Einstein li aveva utilizzati per descrivere la gravità e lo spazio-tempo. Gli ingegneri del GPS hanno dovuto tenere conto di quella descrizione per realizzare un sistema di navigazione accurato.

La geometria dell’Ottocento contribuisce così al funzionamento del navigatore che oggi utilizziamo per raggiungere un indirizzo sconosciuto.

Queste storie aiutano a comprendere perché gli attuali progressi dell’intelligenza artificiale nella ricerca matematica potrebbero avere conseguenze ben più ampie della soluzione di alcuni teoremi.

Una nuova scoperta può essere inizialmente comprensibile soltanto a pochi specialisti. Ma, una volta entrata nel patrimonio della matematica, può diventare uno strumento per affrontare problemi di fisica, informatica, ingegneria e altre discipline.

Accelerare la scoperta matematica potrebbe quindi significare ampliare gli strumenti con cui la scienza e la tecnologia affronteranno problemi futuri, compresi quelli che oggi non sappiamo ancora formulare.

Dalla calcolatrice al collega digitale: come cambia il lavoro dei matematici

L’arrivo degli LLM si inserisce in una storia di strumenti che hanno già trasformato la professione. Le calcolatrici hanno eliminato ore di aritmetica manuale; i software di calcolo simbolico hanno automatizzato manipolazioni algebriche e integrali. Mathematica, introdotto nel 1988, e il sistema open source SageMath permettono di affrontare calcoli e simulazioni che richiederebbero un lavoro ripetitivo enorme.

La differenza dei modelli linguistici è che possono affiancare al calcolo anche una parte del lavoro intellettuale di esplorazione: cercare articoli in letteratura, confrontare approcci, proporre una congettura, suggerire esempi e controesempi, scrivere programmi di verifica, individuare passaggi poco chiari in una dimostrazione. Un matematico può discutere con un modello lungo una serie di tentativi, come con un collaboratore che conosce vaste porzioni della bibliografia ma le cui risposte devono essere controllate.

Nel podcast «AI eats science 1: the mathpocalypse», pubblicato da The Economist il 21 ottobre, Yang-Hui He, del London Institute for Mathematical Sciences, racconta che i nuovi sistemi gli permettono di tentare problemi che in precedenza avrebbe evitato per l’impegno richiesto. Il cambiamento riguarda anche la possibilità di dedicare il tempo del ricercatore alle domande più difficili, delegando calcoli preliminari e letture di ricognizione.

Matematica verificabile: perché Lean sta diventando decisivo

Un passaggio essenziale è l’integrazione con Lean, un linguaggio per formalizzare e verificare dimostrazioni matematiche. I sistemi AI possono tradurre parti di un ragionamento in istruzioni formali, sottoporle al verificatore, ricevere errori e provare a correggerli. Lean controlla la validità dei passaggi rispetto a definizioni e ipotesi formalizzate, riducendo il rischio che una dimostrazione contenga salti logici.

Questa combinazione rende più produttivo il ciclo tra ricerca di idee e verifica. Ma un sistema formale verifica la proposizione effettivamente scritta: occorre che sia la stessa questione matematica che si intendeva risolvere. Comprendere il significato, la novità e la generalità del risultato resta un’altra parte del lavoro, come mostra il dibattito sugli studi pubblicati da OpenAI.

He offre un caso concreto anche nella propria ricerca. Con Ziran Liu e Shing-Tung Yau ha firmato il preprint «Positive Sectional Curvature on All Smooth 7-spheres» del 24 settembre 2026, che propone un risultato sulle possibili geometrie di tutte le 28 classi orientate di sfere lisce a sette dimensioni. Nel podcast descrive un lavoro intensivo fra ricercatori e assistenti AI su letteratura, calcoli e verifica: un esempio di matematica condotta attraverso collaborazione umana e strumenti generativi, il cui risultato è ancora soggetto al confronto scientifico.

La matematica generata dall’AI produce già effetti nei data center

Alcune ricadute tecnologiche sono già visibili. Nel 2023 Google DeepMind aveva presentato FunSearch, che combina un modello linguistico con una procedura automatizzata di valutazione: genera programmi candidati, li testa e conserva le soluzioni migliori. Il sistema ha trovato nuovi risultati per il problema matematico dei cap set e strategie per il bin packing, ossia l’organizzazione efficiente di elementi in spazi limitati, utile anche nell’informatica.

Nel maggio 2025, con AlphaEvolve, DeepMind ha descritto una nuova generazione di agenti che propongono algoritmi, li eseguono e li sottopongono a valutazioni automatiche. Tra i risultati figurano un algoritmo per moltiplicare matrici complesse 4×4 con 48 moltiplicazioni scalari e nuove procedure per ottimizzare le attività di calcolo.

Secondo Google, algoritmi individuati da AlphaEvolve sono stati introdotti nei suoi sistemi: una modifica alla gestione dei data center recupera in media lo 0,7% delle risorse di calcolo globali; un’altra ottimizzazione ha migliorato le prestazioni di una specifica operazione tra matrici utilizzata da Gemini e ridotto dell’1% il tempo di addestramento in quel contesto. Sono risultati industriali dichiarati da Google e mostrano il percorso diretto che può collegare ricerca matematica, algoritmi e risparmio di capacità computazionale.

Si crea così un circuito virtuoso potenziale: l’AI aiuta a scoprire matematica e algoritmi migliori, che possono rendere più efficienti i computer e i modelli AI. Per un settore nel quale addestrare sistemi avanzati richiede quantità enormi di calcolo, anche miglioramenti relativi piccoli possono avere effetti considerevoli sull’infrastruttura.

Il problema delle dimostrazioni: una risposta può essere corretta ma difficile da capire

La rapidità del progresso sta anche cambiando le regole della ricerca. James Maynard, matematico dell’Università di Oxford e medaglia Fields nel 2022, spiega nell’intervista all’Economist le proprie perplessità sulla pubblicazione di lavori molto lunghi, poco leggibili e arrivati prima di un adeguato processo di discussione. La matematica avanza anche attraverso i metodi inventati per dimostrare un teorema: una nuova tecnica può essere più feconda del problema che ha permesso di risolvere.

La questione è stata sollevata da una lettera aperta firmata da importanti matematici, «A Severe Misalignment of AI in Mathematics». I firmatari temono che l’uso dei problemi aperti come test competitivo per le aziende spinga a pubblicare risultati prima che siano spiegati, attribuiti e assimilati dalla comunità. La commissione indipendente AGMAI, costituita presso l’Institute for Advanced Study, ha definito il rilascio di OpenAI un evento importante, precisando che rendere pubbliche le dimostrazioni è l’inizio del processo di comprensione scientifica.

Le reazioni hanno già prodotto una risposta operativa. Il 15 ottobre la Simons Foundation ha annunciato un’iniziativa da 15 milioni di dollari, con risorse della fondazione, di OpenAI e di Anthropic, per sostenere programmi di verifica, convegni, confronto scientifico e accesso agli strumenti. OpenAI contribuirà con 5 milioni di dollari e metterà risorse computazionali a disposizione dei ricercatori sostenuti dall’iniziativa.

La sfida comprende anche la formazione. Se uno studente impara a risolvere problemi complessi affidando tutti i passaggi a un assistente, rischia di perdere l’allenamento attraverso cui si costruisce l’intuizione matematica. He propone nel podcast il paragone con la calcolatrice: abbiamo automatizzato l’aritmetica, ma continuiamo a insegnarla perché serve a sviluppare il ragionamento. La didattica dovrà tenere insieme uso degli strumenti e capacità autonoma di formulare, spiegare e giudicare una prova.

Le conseguenze per fisica, tecnologia e medicina della nuova matematica

Il prossimo sviluppo potrebbe essere un’accelerazione in settori dove la matematica serve a formulare modelli o esplorare possibilità troppo numerose per un gruppo di ricercatori. Nella fisica teorica, agenti AI potrebbero aiutare a individuare nuove relazioni tra strutture geometriche e ipotesi fisiche. Nello studio dei fluidi potrebbero contribuire a chiarire il comportamento delle equazioni; nell’informatica, nuovi algoritmi potrebbero abbassare il costo dei calcoli necessari per simulazioni e modelli.

In altri campi, il percorso verso un’applicazione passa attraverso molte verifiche. Una proprietà matematica può suggerire nuovi metodi per ricostruire immagini, studiare materiali, ottimizzare reti e dispositivi medici. Per trasformarla in tecnologia servono poi sperimentazione, ingegneria, risorse e valutazioni indipendenti. Non è possibile sapere oggi quali fra i risultati proposti dagli agenti avranno questo destino.

Ma il punto storico resta. Senza chi ha generalizzato l’algebra delle matrici, oggi avremmo un’AI molto diversa; senza Boole e Shannon non avremmo gli stessi circuiti digitali; senza Riemann ed Einstein non avremmo la precisione dei sistemi satellitari che utilizziamo. La matematica produce un patrimonio di strumenti che generazioni successive imparano a usare per scopi imprevedibili.

Se i nuovi modelli renderanno più rapida e affidabile la scoperta di quelle strutture, la conseguenza più importante dell’AI potrebbe essere anche l’ampliamento delle conoscenze scientifiche su cui costruire le tecnologie del futuro. È per questo che le centinaia di lavori comparsi a ottobre meritano attenzione: il loro valore si misurerà nelle dimostrazioni confermate, nelle idee che altri matematici sapranno sviluppare e, forse tra decenni, nelle applicazioni che ancora non sappiamo nominare.