Non sempre accade che gli investitori scelgano in modo razionale l’alternativa che massimizza l’utilità attesa, soprattutto in situazioni di ambiguità. Ovvero situazioni in cui non è possibile associare alle diverse alternative una valutazione probabilistica oggettiva. Ben noti, in questo contesto, sono i paradossi di Ellsberg e Allais.
Quantum computing, è vera rivoluzione? Dove ci porterà e come arrivare preparati
Alcune strutture concettuali (ottimismo, pessimismo, sospetto) agiscono come decision-making context e influenzano le scelte dei soggetti nelle situazioni di ambiguità, allontanandoli dal comportamento razionale previsto dalle teorie classiche.
È quindi emersa la necessità di definire nuovi modelli matematici, tali includere anche i bias cognitivi non contemplati dai modelli classici.
I modelli finanziari classici e la probabilità quantistica
I modelli finanziari classici sono stati sviluppati con riferimento a diverse teorie, ad esempio la Teoria dei Mercati Efficienti e la Teoria dell’utilità attesa, basate sul presupposto che il mercato fornisca tutte le informazioni necessarie per i processi decisionali.
Si presuppone che gli investitori siano in grado di calcolare la probabilità di tutte le diverse alternative possibili e i rischi conseguenti, e quindi di prendere le proprie decisioni in maniera razionale. I mercati, tuttavia, esibiscono frequentemente tendenze non coerenti con la presunta razionalità degli investitori, in palese violazione delle teorie classiche.
La probabilità quantistica è stata adottata in aree come la cognizione quantistica e la teoria dei giochi quantistica perché tiene naturalmente conto di effetti come l’interferenza e l’entanglement (Busemeyer e Bruza, 2012; Wendt, 2015).
Esempi ben noti dalla letteratura sulla cognizione quantistica includono:
- l’effetto ordine, in cui le risposte alle domande in un sondaggio dipendono dall’ordine in cui vengono poste;
- l’effetto disgiunzione, in cui le informazioni extra sembrano interferire con il processo decisionale in un modo che elude la logica classica;
- il cambio di preferenza, in cui una decisione cambia a seconda del contesto;
- giochi come il dilemma del prigioniero, in cui gli esperimenti mostrano che le persone non si comportano ottimizzando il proprio tornaconto, ma come se rese “entangled” da un contratto sociale.
Riguardo alla natura della razionalità umana, Amartya Sen, premio Nobel per l’economia, afferma quanto segue:
“[T]he puzzle from the point of view of rational behavior lies in the fact that in actual situations people often do not follow the selfish strategy. Real life examples of this type of behavior in complex circumstances are well known, but even in controlled experiments in laboratory conditions people playing the Prisoners’ Dilemma frequently do the unselfish thing. Classical rationality is arguably selfish. And yet human rationality is (occasionally) not. Deviations from classical rationality as in the Prisoners’ Dilemma (which shall be discussed below as well) are systematically unselfish or at least not random phenomena. There is some sort of logic or mechanism underlying the unselfish nature of human rationality, which could be explicated and articulated in different ways. Quantum cognitive science may be regarded as one of such attempts to shed new light on the unselfish and other natures of human rationality”.
La conoscenza come spazio iperdimensionale
Uno dei bias cognitivi più importanti è l’“effetto ordine”: in numerosi sondaggi, è stato osservato che l’ordine in cui vengono presentati i soggetti le decisioni da prendere determina come vengono prese le decisioni. L’idea che sta alla base di questo comportamento può essere espressa nel modo seguente.
La conoscenza che una persona possiede e utilizza per rispondere alle domande può essere rappresentata come uno spazio iperdimensionale, H. Questo spazio può essere descritto da un insieme di “vettori di base” scelti per rispondere alle domande. Molte teorie cognitive rappresentano la conoscenza come un vettore di valori caratteristici: si può pensare ai vettori di base esattamente in questi termini.
Ad esempio, se le feature sono binarie (Yes or Not) e ci sono 100 feature rilevanti, allora ciascuno dei 2100 vettori di base può essere utilizzato per rappresentare un modello diverso di uno e zero, dove un 1 rappresenta la presenza e uno 0 rappresenta l’assenza di quella feature.
Le convinzioni di una persona sugli eventi sono rappresentate da un vettore di lunghezza unitaria che, generalmente forma un certo angolo rispetto ai vettori di base. H non cambia con la domanda posta o con il contesto in cui si presenta la domanda, ma il modo in cui viene utilizzata la conoscenza in H cambia con entrambi i fattori. Naturalmente, non tutta la conoscenza in H è necessaria per rispondere a una data domanda. La conoscenza necessaria per rispondere a una data domanda, A, è un sottospazio, SA, di H. La conoscenza usata per rispondere ad una seconda domanda, B, è rappresentata da un altro sottospazio, SB, che generalmente è di diversa dimensionalità e non è necessariamente allineato con gli assi scelti per descrivere SA.
Ad esempio, se H è rappresentato da un cubo e SA è una delle facce del cubo, allora SB potrebbe essere un piano contenente la diagonale maggiore del cubo.
Infine, la probabilità di affermare una risposta è determinata dal quadrato della proiezione del vettore corrente sul sottospazio utilizzato per rispondere alla domanda.
La descrizione geometrica dell’effetto ordine
Veniamo ora al cuore del modello: context ed order effect. Con il passare del tempo e con l’arrivo di nuove informazioni, il contenuto della memoria a breve termine cambia e il vettore di credenze cambia di conseguenza.
Quando due domande si susseguono immediatamente, dopo aver risposto alla prima domanda, il vettore utilizzato per rispondere alla prima domanda cambia per corrispondere alla risposta appena data. In altre parole, il vettore si riallinea con i contenuti attuali della memoria a breve termine (che include le risposte a domande precedenti) e le prospettive che derivano da tali contenuti.
In termini geometrici, il nuovo vettore utilizzato per la seconda domanda è semplicemente la proiezione del vettore iniziale sul sottospazio utilizzato per rispondere alla prima domanda. Questo nuovo vettore viene quindi proiettato nel sottospazio utilizzato per rispondere alla seconda domanda: la sua lunghezza finale al quadrato determina la probabilità di una risposta “Yes” alla seconda domanda.
Utilizzando questo processo, la probabilità della sequenza di risposte “Yes” è uguale al quadrato della lunghezza della proiezione ottenuta proiettando prima lo stato nel sottospazio per rispondere ” Yes ” alla prima domanda, quindi proiettando il vettore aggiornato nel sottospazio per rispondere “Yes” alla seconda domanda. Quando i due sottospazi non sono descritti dagli stessi autovettori, l’ordine di risposta alle domande cambierà le proiezioni e, in definitiva, le probabilità delle risposte: questo comportamento è descritto come “non commutatività” nella teoria quantistica.
Ad esempio, se un soggetto deve rispondere a una domanda scegliendo tra le risposte Yes e Not, il sistema “subject plus context” è nello stato iniziale generico , una condizione mentale in cui c’è una sovrapposizione di stati corrispondenti a tutte le possibili risposte. La domanda rappresenta un operatore di misura i cui autovettori sono i vettori di stato ortonormali e corrispondenti alle possibili risposte Yes e Not.
Porre la domanda al soggetto equivale ad applicare l’operatore al sistema in stato e la risposta guida il collasso del sistema stesso dallo stato (se la risposta è Yes) con probabilità nello stato (se la risposta è Not) con probabilità , in cui rappresenta l’operatore di proiezione associate al generico stato .
Figura 1: Rappresentazione grafica della risposta ad una domanda
Se due domande diverse A e B vengono poste in successione e si vuole calcolare la probabilità con cui verranno date due risposte specifiche (es. la risposta Yes ad entrambe le domande), seguendo l’approccio proposto da David Orrell applichiamo in sequenza i Proiettore che proietta lo stato iniziale sul vettore associato per rispondere Yes alla domanda A, e poi che proietta lo stato modificato dalla prima risposta (non quello iniziale) sul vettore associato per rispondere Yes alla domanda B. I proiettori non commutano e, se applicati in ordine inverso, non danno lo stesso risultato. Per cui, poichè , non si ottiene la stessa probabilità che si ottiene scambiando l’ordine dei Proiettori (cioè l’ordine delle domande).
Figura 2: Probabilità diverse associate alla risposta Sì a entrambe le domande A e B a seconda di quale domanda viene posta per prima. L’angolo α rappresenta la condizione mentale del soggetto, in una sovrapposizione di stati rispetto alla risposta da dare alla prima domanda A; l’angolo di sfasamento φ rappresenta la discrepanza tra la base associata alle domande A e B (cioè il fatto che le domande sono diverse).
Come descritto, la risposta ad una prima domanda A modifica lo stato mentale del soggetto, quindi sarà diversamente predisposto a dare una risposta specifica ad una seconda domanda B. Le probabilità associate a tutte le coppie di possibili risposte sono calcolabili mediante proiezioni al quadrato ottenute da applicando allo stato iniziale i Proiettori associati con le diverse possibili risposte. Sia la probabilità di ottenere la risposta i (Yes o Not) alla domanda A e la risposta j (Yes or Not) alla domanda B:
Figura 3: (A) Probabilità associata alla risposta Yes ad entrambe le domande A e B; (B) Probabilità associata alla risposta Yes alla domanda A e Not alla domanda B; (C) Probabilità associata alla risposta Not alla domanda A e Yes alla domanda B; (D) Probabilità associata alla risposta Not ad entrambe le domande A e B.
L’effetto ordine in un circuito quantistico
È possibile rappresentare l’intero processo mediante circuito quantistico a 2 qubit che riproduca la stessa distribuzione di probabilità, cioè che consenta di riprodurre l’effetto del contesto (risposta Yes o Not alla prima domanda A) sul successivo processo decisionale (risposta Sì o No alla seconda domanda B).
Questo circuito può essere utilizzato per simulare ogni scenario in cui una decisione B può essere influenzata da un contesto A (una decisione precedente, il risultato di un test, alcune informazioni significative per la decisione B). Il primo qubit (all’inizio del circuito) rappresenta il contesto, in questo caso la risposta ad una prima domanda A, ed i suoi stati and sono associati rispettivamente alle risposte Yes (stato e Not (stato ). Il secondo qubit rappresenta il processo decisionale che guida la risposta alla seconda domanda B e ai suoi stati e sono quindi associati alle risposte Yes (stato ) e Not (stato ).
e sono porte logiche di rotazione quantistica, che ruotano il qubit di un angolo rispettivamente pari a (rappresentante la sovrapposizione di stati per rispondere Yes o Not alla domanda A) e (rappresentante la discrepanza tra la base associata alle domande A e B, ovvero, il fatto che le domande siano diverse).
Figura 4 Circuito quantistico a 2 qubit che simula l’influenza del contesto ( )) sul processo decisionale ( ).
La porta logica CNOT è la chiave del circuito e controlla l’evoluzione dello stato del secondo qubit a seconda dello stato del primo qubit. La porta CNOT genera entanglement tra i due qubit e permette di prevedere come la risposta alla prima domanda, il contesto, influisca sulle probabilità associate alle possibili risposte alla seconda domanda. In altre parole, l’entanglement simula l’influenza del contesto sui successivi processi decisionali. Lo stato del sistema a 2 qubit in uscita dal circuito è , e quindi la distribuzione di probabilità di misurazione del sistema in uscita nei diversi stati base corrispondono esattamente alle probabilità associate alle possibili coppie di risposte alle domande A e B.
L’implementazione su un processore quantistico fotonico
Esistono diverse architetture su cui è possibile costruire un computer quantistico, ognuna delle quali si basa su un sistema fisico diverso: trappole ioniche o atomiche, risonanza magnetica, giunzioni di Josephson, punti quantici, spin nucleare o circuiti fotonici. Una prospettiva interessante è quella relativa alla computazione quantistica che utilizza circuiti fotonici lineari: ha il vantaggio che la più piccola unità di informazione quantistica, il qubit, è potenzialmente esente da decoerenza, ovvero l’informazione immagazzinata in un fotone tende a rimanere invariata.
Il nuovo dispositivo fotonico su chip riduce l’overhead dovuto a più sorgenti di fotoni singoli con un altissimo grado di coerenza reciproca e sfrutta la possibilità di codificare l’intero spazio degli stati in un circuito ottico complesso basato sull’architettura MultiRail (MR): un particolare stato in ingresso è codificato nella sovrapposizione quantistica di un fascio di luce coerente attraverso le diverse guide d’onda, in modo che sia possibile progettare porte quantistiche che mostrino comportamenti deterministici e non probabilistici, come entangler quantistici, misure di Bell e schemi di teletrasporto.
L’architettura Multirail fornisce una nuova classe di processori NISQ che è in grado di supportare l’esecuzione di algoritmi quantistici euristici, con un vantaggio quantistico quando applicato a problemi di ottimizzazione combinatoria. In questo caso è stato implementato il modello circuitale mostrato in Fig.4, dove il primo qubit (nella parte superiore del circuito) rappresenta il contesto, ovvero la risposta alla prima domanda di un sondaggio; e il secondo qubit rappresenta il processo decisionale, ovvero la risposta alla seconda domanda di un sondaggio.
Grazie al quantum processor rappresentato in Fig.5, progettato e realizzato nell’ambito del progetto “Copernico”, Piano Nazionale di Ricerca Militare, è stato possibile effettuare una serie di esperimenti che hanno verificato la bontà del modello quantistico e che sono stati presentati a settembre 2022 in occasione del European Optical Society Meeting (EOSAM 2022).
Figura: Noisy Intermediate-Scale Photonic Quantum Processor (Progetto COPERNICO, PNRM, Responsabile Scientifico Fabio Antonio Bovino )
Conclusioni
Nella trilogia della “Fondazione”, Asimov sviluppa l’idea della “psicostoria”, una disciplina scientifica di sua invenzione, una combinazione tra psicologia delle masse e matematica avanzata in grado di prevedere il comportamento di una società. L’utilizzo di modelli quantistici è in grado di prevedere comportamenti “sociali” non facilmente spiegabili da modelli classici. La “psicostoria” del ciclo della Fondazione di Asimov, grazie ai calcolatori quantistici, potrebbe diventare realtà.
